 |
Функция ГудштейнаРазложим число на степени двойки, например, 50: 50 = 25+24+21 Это шаг 0. Сейчас базой числа является 2. Чтобы получить шаг n, мы производим последовательно две операции разложением шага n-1: 1. Увеличить базу на 1. 2. Вычесть 1, при этом сохранив базу. То есть: Операция 1: 35+34+31 = 327 Операция 2: 35+34+0*31+2 = 35+34+2 = 326 Можно рассматривать всё выражение как многочлен: bc*acc+bc-1*ac-1c-1+...+b1*a11 Теперь рассмотрим следующую последовательность: Шаг 0 = 50 Шаг 1 = 326 Шаг 2 = 1281 ... Шаг n = 0 И функцию g(x) = n, где x - это Шаг 0, а n - наименьший номер шага, который равен 0. Это слабая функция Гудштейна, которая имеет предельный ординал "омега" в быстрорастущей иерархии функций. Без прямого перебора шагов это может быть вычислено при помощи иерархии Харди, где мы раскладываем аргумент x на степени двойки, а затем заменяем каждую базу на омегу и подставляем полученный ординал в иерархию, затем вычитаем 3. Подробнее про иерархию Харди см. тут. Отдельные значения для этой функции: g(0) = 0 g(1) = 1 g(2) = 3 g(3) = 5 g(4) = 21 g(5) = 61 g(6) = 381 g(7) = 2045 g(8) = 3*2402653211-3 (число с 121210695 знаками!) ~ 6.895*10121210694 g(9) >~ 102.0756*10121210694 g(10) >~ 1010102.0756*10121210694 g(2n) >~ 10{n-1}10. Это была всего лишь слабая функция Гудштейна, но однако уже растёт в прогрессии стрелок сверхстепени (или прогрессии Аккермана). Сильный вариант функции Гудштейна получится, если раскладывать не только число на степени двойки, но и степени двойки на степени двойки, а если понадобится, и ещё раз, и ещё, пока верх башни не станет меньше базы. Теперь база находится не только в основании башни, но и упакована в степенную башню. Значения для сильной функции Гудштейна, G(n): G(0) = 0 G(1) = 1 G(2) = 3 G(3) = 5 G(4) = 3*2402653211-3 (число с 121210695 знаками!) ~ 6.895*10121210694 G(5) > 10^^(10^^(10^^10101021)) G(6) > (10^^^^)5(10^^^)5(10^^)5(1010101010117) G(7) > (10^^^^^^)7(10^^^^^)7(10^^^^)7(10^^^)7(10^^)7(10101010101010619) В дальнейшем стрелками сверхстепени пользоваться не получится, так как при G(8) их станет уже слишком много. Пусть Ack(n) = 2{n-1}n. Теперь: G(8) > Ack(Ack(G(4))) G(9) > Ack(Ack(Ack(G(5)))) G(10) > Ack5(G(6)) G(11) > Ack7(G(7)) G(12) > AckG(4)(G(4)) (это уже больше Числа Грэма и даже стасплекса) G(13) > AckG(5)(G(5)) G(14) > AckG(6)(G(6)) G(15) > AckG(7)(G(7)) Теперь пришло время для резкого скачка: G(16) > {3,3,3,3,3} (то есть больше, чем пентатри в нотации массивов) G(17) > {4,4,4,4,4,4} G(18) > {6,6,6,6,6,6,6,6} G(19) > {8,8,8,8,8,8,8,8,8,8} G(20) > {G(4),G(4) (1) 2} = {G(4),G(4),...,G(4),G(4)} (G(4) повторяется G(4) раз, а G(4) - это число более чем с 100 миллионами знаков) G(21) > {G(5),G(5) (1) 2} G(22) > {G(6),G(6) (1) 2} G(23) > {G(7),G(7) (1) 2} G(32) > {3,4,2 (1) 2} G(64) > {3,4,4 (1) 2} G(128) > {3,4,1,2 (1) 2}= {3,3,латри (1) 2} G(256) > {3,5 (1) 4} = {3,3,3,3,3 (1) 3} G(65536) > {3,3 (3) 3} (массив 3x3x3 из троек или диментри) G(65540) > {3,3 (G(4)) 3} (массив из G(4)-мерного гиперкуба в нотации массивов) G(265536) > {3,3 (3,3,3,2) 3} G(265536+4) > {3,G(4) (1 (1) 2) 2} Иными словами, если аргумент сильной функции Гудштейна растёт тетрационно, функция растёт в порядке тетрационных массивов, также, как в слабой функции Гудштейна, если аргумент растёт экспоненциально, то функция растёт в порядке стрелок сверхстепени. |
|
|
|
|